Bài tập 5, § 2

(a) Cho $k$ là một trường, $K$ là trường $k(X, Y)$ các hàm hữu tỉ theo hai bất định trên $k$ và $A$ là vành đa thức $K[Z]$ theo một bất định, là một miền iđêan chính. Cho $L$ là trường con $k(Z, X + YZ)$ của $k(X, Y, Z)$; hãy chỉ ra rằng $A \cap L$ không phải là một miền Dedekind (chứng minh rằng trong vành này có các iđêan nguyên tố không cực đại và $\neq 0$).

(b) Cho $A$ là một miền Dedekind không phải là miền iđêan chính và sao cho nhóm lớp iđêan $C(A)$ là hữu hạn \* (vành các số nguyên của một mở rộng đại số hữu hạn của $\mathbf{Q}$ có tính chất sau). \* Cho $(a_i)_{1=1}^s$ là một hệ đại diện của nhóm $I(A)$ các iđêan phân số $\neq 0$ modulo nhóm con các iđêan chính phân số, gồm các iđêan nguyên của $A$ và cho $p_i$ ($1 \leq i \leq s$) là các iđêan nguyên tố chia ít nhất một trong các $a_i$. Gọi $S$ (tương ứng $T$) là tập hợp nhân của các phần tử $x \in \mathbf{A}$ sao cho $v_{p_i}(x) = 0$ với mọi $i$ (tương ứng gồm 1 và các $x \in \mathbf{A}$ sao cho $v_q(x) = 0$ với mọi iđêan nguyên tố $q$ phân biệt với các $p_i$ và $v_{p_i}(x) \geq 1$ với mọi $i$; giả thiết suy ra rằng $T$ không rút gọn về 1). Hãy chứng minh rằng $S^{-1}\mathbf{A}$ và $T^{-1}\mathbf{A}$ là các miền iđêan chính và rằng $\mathbf{A} = (S^{-1}\mathbf{A}) \cap (T^{-1}\mathbf{A})$.