Exercice 5, § 2

a) Soient $k$ un corps, $K$ le corps $k(X, Y)$ des fractions rationnelles à deux indéterminées sur $k$, $A$ l’anneau de polynômes $K[Z]$ en une indéterminée, qui est un anneau principal. Soit $L$ le sous-corps $k(Z, X + YZ)$ de $k(X, Y, Z)$; montrer que $A \cap L$ n’est pas un anneau de Dedekind (prouver qu’il y a des idéaux premiers non maximaux et $\neq 0$ dans cet anneau).

b) Soit $A$ un anneau de Dedekind non principal dans lequel le groupe $C(A)$ des classes d’idéaux est fini \* (l’anneau des entiers d’une extension algébrique finie de $Q$ a cette dernière propriété)*. Soit $(\alpha_j)_{1 \leq j \leq r}$ un système de représentants du groupe $I(A)$ des idéaux fractionnaires $\neq 0$ modulo le sous-groupe des idéaux fractionnaires prinpaux, formé d’idéaux entiers de $A$, et soient $p_i$ ($1 \leq i \leq s$) les idéaux premiers divisant l’un des $a_j$ au moins. On désigne par $S$ (resp. $T$) l’ensemble multiplicatif des éléments $x \in A$ tels que $v_{p_i}(x) = 0$ pour tout $i$ (resp. formé de 1 et des $x \in A$ tels que $v_q(x) = 0$ pour tous les idéaux premiers $q$ distincts des $p_i$, et $v_{p_i}(x) \geq 1$ pour tout $i$; l’hypothèse entraîne que $T$ n’est pas réduit à 1). Montrer que $S^{-1}A$ et $T^{-1}A$ sont des anneaux principaux et que l’on a $A = (S^{-1}A) \cap (T^{-1}A)$.