Bài tập 15, § 3

Cho K là một trường đầy đủ đối với một định giá rời rạc $v$, A là vành của định giá, k là trường thặng dư của nó, P là một đa thức của $A[X_1, \ldots, X_n]$ có bậc toàn phần d có tính chất sau: tồn tại một mở rộng đại số $K'$ của K sao cho trong $K'[X_1, \ldots, X_n]$, P là một tích của các đa thức có bậc toàn phần 1. Giả sử thêm rằng tồn tại hai đa thức Q, R của $A[X_1, \ldots, X_n]$ sao cho Q có bậc toàn phần s và chứa một đơn thức $aX_1^s$ trong đó $\varphi(a) \neq 0$ ($\varphi$ là đồng cấu chính tắc $A \to k$), rằng R có bậc $\leq d - s$, và rằng ta có $\bar{P} = \bar{Q} \cdot \bar{R}$ (các ký hiệu của Chương III, § 4). Bây giờ chứng minh rằng khi đó tồn tại trong $A[X_1, \ldots, X_n]$ hai đa thức $Q_0, R_0$ có các bậc tương ứng s, $d - s$, sao cho $P = Q_0 R_0$, $\bar{Q} = \bar{Q}_0, \bar{R} = \bar{R}_0$ và rằng $Q_0$ chứa một đơn thức $a_0 X_1^s$ với $\varphi(a) = \varphi(a_0)$, (Xem P, Q, R như các đa thức theo $X_1$ với các hệ số trong vành B, phần đầy đủ của $A[X_2, \ldots, X_n]$ đối với định giá thu được bằng cách mở rộng $v$ theo phương pháp của Chương VI, § 10, No. 1, Mệnh đề 2; sau đó áp dụng bổ đề Hensel; cuối cùng sử dụng giả thiết ban đầu về P).