Exercice 15, § 3

Soient K un corps complet pour une valuation discrète $v$, A l’anneau de la valuation, k son corps résiduel, P un polynôme de $A[X_1, \ldots, X_n]$ de degré total d ayant la propriété suivante: il existe une extension algébrique $K'$ de K telle que dans $K'[X_1, \ldots, X_n]$, P soit produit de polynômes de degré total 1. On suppose en outre qu’il existe deux polynômes Q, R de $A[X_1, \ldots, X_n]$ tels que Q soit de degré total s et contienne un monôme $aX_1^s$ où $\varphi(a) \neq 0$ ($\varphi$ désignant l’homomorphisme canonique $A \to k$), que R soit de degré $\leq d - s$, et que l’on ait $\bar{P} = \bar{Q} \cdot \bar{R}$ (notations du chap. III, § 4). Montrer qu’il existe alors dans $A[X_1, \ldots, X_n]$ deux polynômes $Q_0, R_0$ de degrés respectifs s, $d - s$, tels que $P = Q_0 R_0$, $\bar{Q} = \bar{Q}_0, \bar{R} = \bar{R}_0$ et que $Q_0$ contienne un monôme $a_0 X_1^s$ avec $\varphi(a) = \varphi(a_0)$, (Considérer P, Q, R comme des polynômes en $X_1$ à coefficients dans l’anneau B, complété de $A[X_2, \ldots, X_n]$ pour la valuation obtenue en prolongeant $v$ suivant la méthode du chap. VI, § 10, n° 1, prop. 2; appliquer ensuite le lemme de Hensel; utiliser enfin l’hypothèse initiale sur P).