Bài tập 18, § 3

Cho $K$ là một trường, $f = g/h$ là một phần tử của trường các phân thức hữu tỉ $K(U, V)$ theo hai bất định, trong đó $g$ và $h$ là hai đa thức nguyên tố cùng nhau của $K[U, V]$. Bây giờ chứng minh rằng trong trường các phân thức hữu tỉ $K(X_1, Y_1, \ldots, X_n, Y_n)$ theo $2n$ bất định, định thức $\det(f(X_i, Y_j))$ bằng:

trong đó $F$ là một đa thức của $K[X_1, Y_1, \ldots, X_n, Y_n]$ và $V(X_1, \ldots, X_n)$ là định thức Vandermonde (Alg., chap. III, § 6, No. 4). Trường hợp đặc biệt khi $f = 1/(U + V)$ (“đồng nhất thức Cauchy”).