Exercice 18, § 3

Algèbre commutative, VII

Soient $K$ un corps, $f = g/h$ un élément du corps de fractions rationnelles $K(U, V)$ à deux indéterminées, où $g$ et $h$ sont deux polynômes étrangers de $K[U, V]$ . Montrer que dans le corps des fractions rationnelles $K(X_1, Y_1, \ldots, X_n, Y_n)$ à $2n$ indéterminées, le déterminant $\det(f(X_i, Y_j))$ est égal à :

\left( \prod_{i,j} h(X_i, Y_j) \right)^{-1} V(X_1, \ldots, X_n)V(Y_1, \ldots, Y_n) F(\dot{X}_1, Y_1, \ldots, X_n, Y_n)

où $F$ est un polynôme de $K[X_1, Y_1, \ldots, X_n, Y_n]$ et $V(X_1, \ldots, X_n)$ est le déterminant de Vandermonde (Alg., chap. III, § 6, n° 4). Cas particulier où $f = 1/(U + V)$ (« identité de Cauchy »).

Solution

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