Bài tập 23, § 3

Cho $B$ là một vành Krull, $E$ là trường các phân thức của nó, $\Delta$ là một đạo hàm của $E$ sao cho $\Delta(B) \subset B$, $K$ là trường con của $E$ là hạt nhân của $\Delta$ và $A$ là vành Krull $B \cap K$; giả sử rằng $K$ có đặc số $p > 0$; ta có $E^p \subset K$ và $B^p \subset A$, do đó $B$ là bao đóng nguyên của $A$ trong $E$, và đồng cấu chính tắc $i : C(A) \to C(B)$ được xác định (§ 1, No. 10). Ta ký hiệu bởi $U$ nhóm các phần tử khả nghịch của $B$.

a) Nếu $b \in E$ sao cho $\operatorname{div}_B(b)$ là ảnh chính tắc của một ước của $D(A)$, bây giờ chứng minh rằng ta có $\Delta b/b \in B$ (chú ý rằng đối với mọi iđêan nguyên tố $\mathfrak{P}$ có chiều cao 1 của $B$, tồn tại $b' \in K$ sao cho $v_{\mathfrak{P}}(b) = v_{\mathfrak{P}}(b')$, và nhận xét rằng $B_{\mathfrak{P}}$ ổn định đối với $\Delta$). Gọi $L$ là nhóm con cộng tính của $B$ tạo bởi các $\Delta b/b$ (“các đạo hàm lôgarit”) thuộc $B$ (đối với $b \in E$ hoặc $b \in B$, điều này là tương đương, và $b \neq 0$), và gọi $L'$ là nhóm con của $L$ tạo bởi các $\Delta u/u$, trong đó $u \in U$. Bây giờ chứng minh rằng, với mọi ước $d \in D(A)$ sao cho ảnh của $d$ là một ước chính trong $D(B)$, lớp mod. $L'$ của $\Delta b/b$ với mọi $b$ sao cho $i(d) = \operatorname{div}_B(b)$ chỉ phụ thuộc vào lớp của $d$ trong $C(A)$, và suy ra một đồng cấu chính tắc đơn cấu $\varphi$ của $\operatorname{Ker}(i)$ vào $L/L'$.

(b) Chứng minh rằng nếu $\Delta(B)$ không được chứa trong bất kỳ iđêan nguyên tố nào có chiều cao 1 của $B$ và nếu $[E : K] = p$, thì $\varphi$ là song ánh. (Rút gọn về việc chứng minh rằng nếu $b \in E$ sao cho $\Delta b/b \in B$ và nếu $\mathfrak{P}$ là một iđêan nguyên tố có chiều cao 1 trong $B$ sao cho $v_{\mathfrak{P}}(b)$ không là bội của $p$, thì $e(\mathfrak{P}/p) = 1$, trong đó $p = \mathfrak{P} \cap A$; về việc này, suy ra từ giả thiết rằng nếu $t$ là một phần tử đồng nhất hóa của $B_{\mathfrak{P}}$, thì có $\Delta t/t \in B_{\mathfrak{P}}$, do đó $\mathfrak{P}B_{\mathfrak{P}}$ ổn định dưới $\Delta$, và rằng $\Delta$ vì thế xác định bằng cách chuyển qua thương một đạo hàm $\bar{\Delta}$ của trường thặng dư $k = B_{\mathfrak{P}}/\mathfrak{P}B_{\mathfrak{P}}$; chứng minh rằng $\bar{\Delta} \neq 0$, và suy ra rằng $f(\mathfrak{P}/p) = p$.

(c) Cho $k$ là một trường có đặc số 2, $B$ là vành đa thức $k[X, Y, Z]$, $\Delta$ là đạo hàm của $E = k(X, Y, Z)$ sao cho $\Delta(X) = Y^4$, $\Delta(Y) = X^2$, $\Delta(Z) = XYZ$; trường $K$ là hạt nhân của $\Delta$ sao cho $[E : K] = 4$. Ta có $\Delta(Z)/Z \in B$, nhưng chứng minh rằng $\operatorname{div}_B(Z)$ không phải là ảnh chính tắc của một ước của $D(A)$. (Lập luận bằng phản chứng bằng cách giả sử rằng $e(\mathfrak{P}/p) = 1$ với $\mathfrak{P} = BZ$, $p = \mathfrak{P} \cap A$; khi đó trong $A$ sẽ có một phần tử đồng nhất hóa của $B_{\mathfrak{P}}$, tất yếu có dạng $a(X, Y, Z)Z$ với $b = a(X, Y, 0) \neq 0$; suy ra rằng ta sẽ có $\Delta b/b = -XY$ và thu được một mâu thuẫn bằng cách tính $\Delta(-XY)$).