Exercice 23, § 3

Soient $B$ un anneau de Krull, $E$ son corps des fractions, $\Delta$ une dérivation de $E$ telle que $\Delta(B) \subset B$, $K$ le sous-corps de $E$ noyau de $\Delta$ et $A$ l’anneau de Krull $B \cap K$; on suppose $K$ de caractéristique $p > 0$; on a $E^p \subset K$ et $B^p \subset A$, de sorte que $B$ est la fermeture intégrale de $A$ dans $E$, et l’homomorphisme canonique $i : C(A) \to C(B)$ est défini (§ 1, n° 10). On désigne par $U$ le groupe des éléments inversibles de $B$.

a) Si $b \in E$ est tel que $\operatorname{div}_B(b)$ soit l’image canonique d’un diviseur de $D(A)$, montrer que l’on a $\Delta b/b \in B$ (noter que pour tout idéal premier $\mathfrak{P}$ de hauteur 1 de $B$, il existe $b' \in K$ tel que $v_{\mathfrak{P}}(b) = v_{\mathfrak{P}}(b')$, et observer que $B_{\mathfrak{P}}$ est stable par $\Delta$). Soient $L$ le sous-groupe additif de $B$ formé des $\Delta b/b$ (« dérivées logarithmiques ») qui appartiennent à $B$ (pour $b \in E$ ou $b \in B$, ce qui revient au même, et $b \neq 0$), et soit $L'$ le sous-groupe de $L$ formé des $\Delta u/u$, où $u \in U$. Montrer que, pour tout diviseur $d \in D(A)$ tel que l’image de $d$ soit un diviseur principal dans $D(B)$, la classe mod. $L'$ de $\Delta b/b$ pour tout $b$ tel que $i(d) = \operatorname{div}_B(b)$ ne dépend que de la classe de $d$ dans $C(A)$, et en déduire un homomorphisme injectif canonique $\varphi$ de $\operatorname{Ker}(i)$ dans $L/L'$.

b) Montrer que si $\Delta(B)$ n’est contenu dans aucun idéal premier de hauteur 1 de $B$ et si $[E : K] = p$, $\varphi$ est bijectif. (Se ramener à montrer que si $b \in E$ est tel que $\Delta b/b \in B$ et si $\mathfrak{P}$ est un idéal premier de hauteur 1 dans $B$ tel que $v_{\mathfrak{P}}(b)$ ne soit pas multiple de $p$, alors $e(\mathfrak{P}/p) = 1$, où $p = \mathfrak{P} \cap A$; pour cela, déduire de l’hypothèse que si $t$ est une uniformisante de $B_{\mathfrak{P}}$, on a $\Delta t/t \in B_{\mathfrak{P}}$, de sorte que $\mathfrak{P}B_{\mathfrak{P}}$ est stable par $\Delta$, et que $\Delta$ définit donc par passage aux quotients une dérivation $\bar{\Delta}$ du corps résiduel $k = B_{\mathfrak{P}}/\mathfrak{P}B_{\mathfrak{P}}$; montrer que $\bar{\Delta} \neq 0$, et en déduire que $f(\mathfrak{P}/p) = p$.

c) Soient $k$ un corps de caractéristique 2, $B$ l’anneau de polynômes $k[X, Y, Z]$, $\Delta$ la dérivation de $E = k(X, Y, Z)$ telle que $\Delta(X) = Y^4$, $\Delta(Y) = X^2$, $\Delta(Z) = XYZ$; le corps $K$ noyau de $\Delta$ est tel que $[E : K] = 4$. On a $\Delta(Z)/Z \in B$, mais montrer que $\operatorname{div}_B(Z)$ n’est pas l’image canonique d’un diviseur de $D(A)$. (Raisonner par l’absurde en supposant que $e(\mathfrak{P}/p) = 1$ pour $\mathfrak{P} = BZ$, $p = \mathfrak{P} \cap A$; il y aurait alors dans $A$ une uniformisante de $B_{\mathfrak{P}}$, nécessairement de la forme $a(X, Y, Z)Z$ avec $b = a(X, Y, 0) \neq 0$; en déduire que l’on aurait $\Delta b/b = -XY$ et obtenir une contradiction en calculant $\Delta(-XY)$).