Bài tập 24, § 3

(a) Cho $E$ là một trường có đặc số 2, $\Delta$ là một đạo hàm của $E$, $K$ là trường con của $E$ là hạt nhân của $\Delta$; giả sử rằng $[E : K] = 2$. Bây giờ chứng minh rằng ta có $\Delta^2 = a \Delta$ với $a \in K$, và để một phần tử $t \in E$ có dạng $\Delta x/x$, điều kiện cần và đủ là $\Delta t = at + t^2$.

(b) Cho $B$ là một vành địa phương nhân tử có đặc số 2, $m$ là iđêan cực đại của nó, E là trường phân thức của nó, Δ là một đạo hàm của E; giả sử rằng trường con K của E, là hạt nhân của Δ, sao cho [E : K] = 2; ngoài ra, giả sử rằng tồn tại hai phần tử x, y của m sao cho Δx và Δy sinh iđêan q của B sinh bởi Δ(B). Bây giờ chứng minh rằng nếu t = Δz/z thuộc q, tồn tại một phần tử khả nghịch u của B sao cho t = Δu/u (viết t = rΔx + sΔy với r, s trong B và sử dụng a)).