Exercice 24, § 3

a) Soient $E$ un corps de caractéristique 2, $\Delta$ une dérivation de $E$, $K$ le sous-corps de $E$ noyau de $\Delta$; on suppose que $[E : K] = 2$. Montrer que l’on a $\Delta^2 = a \Delta$ avec $a \in K$, et que pour qu’un élément $t \in E$ soit de la forme $\Delta x/x$, il faut et il suffit que $\Delta t = at + t^2$.

b) Soient $B$ un anneau local factoriel de caractéristique 2, $m$ son idéal maximal, E son corps des fractions, Δ une dérivation de E ; on suppose que le sous-corps K de E, noyau de Δ, est tel que [E : K] = 2 ; en outre, on suppose qu’il existe deux éléments x, y de m tels que Δx et Δy engendrent l’idéal q de B engendré par Δ(B). Montrer alors que si t = Δz/z appartient à q, il existe un élément inversible u de B tel que t = Δu/u (écrire t = rΔx + sΔy avec r, s dans B et utiliser a)).