Bài tập 25, § 3

Cho $k$ là một trường có đặc số 2, $B$ là vành chuỗi lũy thừa hình thức $k[[X, Y]]$, $E$ là trường phân thức của nó, $\Delta$ là đạo hàm $k$ của $E$ được xác định bởi $\Delta(X) = Y^{2j}$, $\Delta(Y) = X^{2i}$ ($i, j$ là các số nguyên ≥ 0); vành con $A$ của $B$ tạo thành bởi các $x \in B$ sao cho $\Delta x = 0$ là vành các chuỗi lũy thừa hình thức của $k[[X, Y, Z]]$ trong đó thay $X^2$ cho $X$, $Y^2$ cho $Y$ và $X^{2i+1} + Y^{2j+1}$ cho $Z$.

(a) Bây giờ chứng minh rằng nhóm $C(A)$ chứa một không gian vectơ trên k có chiều $N(i, j)$, bằng số các cặp số nguyên $(a, b)$ sao cho $0 \le a < i$, $0 \le b < j$ và $(2j + 1)a + (2i + 1)b \ge 2ij$. (Dùng Ex. 23 b) và Ex. 24 a), chú ý rằng các phần tử của $L$ là các chuỗi lũy thừa hình thức $F \in B$ sao cho $\Delta F = F^2$; gán cho $X$ trọng số $2j + 1$ và cho $Y$ trọng số $2i + 1$, phân tích $F$ thành một tổng vô hạn các đa thức đẳng trọng; nếu $L_q$ là nhóm con của $L$ tạo thành bởi các $F \in L$ mà các thành phần đẳng trọng của chúng có trọng số ≥ $q$, $L/L’$ đẳng cấu với tổng trực tiếp của các nhóm $C_q/C_{q+1}$, trong đó $C_q = L_q/(L’ \cap L_q)$; tính các nhóm này với $q \ge 4ij$, dùng Ex. 24 b)).

(b) Bây giờ chứng minh rằng iđêan $AX^2$ của $A$ là nguyên tố; nếu $A’ = A[X^{-2}]$, suy ra rằng $C(A’)$ và $C(A)$ đẳng cấu (No. 4, Mệnh đề 3). Bây giờ chứng minh rằng $A’$ là một vành Dedekind (xét vành $B’ = B[X^{-2}]$, là nguyên trên $A’$ và là chính, và dùng Chương V, § 2, No. 4, Định lý 3). Suy ra một ví dụ về một vành Dedekind mà nhóm các lớp iđêan của nó là vô hạn.