Exercice 25, § 3

Soient k un corps de caractéristique 2, B l’anneau de séries formelles k[[X, Y]], E son corps des fractions, Δ la k-dérivation de E définie par Δ(X) = Y^{2j}, Δ(Y) = X^{2i} (i, j entiers ≥ 0); le sous-anneau A de B formé des x ∈ B tels que Δx = 0 est l’anneau des séries formelles de k[[X, Y, Z]] où on substitue X^2 à X, Y^2 à Y et X^{2i+1} + Y^{2j+1} à Z.

a) Montrer que le groupe C(A) contient un espace vectoriel sur k de dimension N(i, j), égale au nombre des couples d’entiers (a, b) tels que 0 ≤ a < i, 0 ≤ b < j et (2j + 1)a + (2i + 1)b ≥ 2ij. (Utilisant l’exerc. 23 b) et l’exerc. 24 a), noter que les éléments de L sont les séries formelles F ∈ B telles que ΔF = F^2 ; en attribuant à X le poids 2j + 1 et à Y le poids 2i + 1, décomposer F en somme infinie de polynômes isobares ; si L_q est le sous-groupe de L formé des F ∈ L dont les composantes isobares sont de poids ≥ q, L/L’ est isomorphe à la somme directe des groupes C_q/C_{q+1}, où C_q = L_q/(L’ ∩ L_q); calculer ces groupes pour q ≥ 4ij, en utilisant l’exerc. 24 b)).

b) Montrer que l’idéal AX^2 de A est premier ; si A’ = A[X^{-2}], en déduire que C(A’) et C(A) sont isomorphes (n° 4, prop. 3). Montrer que A’ est un anneau de Dedekind (considérer l’anneau B’ = B[X^{-2}], qui est entier sur A’ et est principal, et utiliser le chap. V, § 2, n° 4, th. 3). En déduire un exemple d’anneau de Dedekind dont le groupe des classes d’idéaux est infini.