Bài tập 27, § 3

(a) Cho $K$ là một trường, $B$ là vành sinh, trong một bao đóng đại số của trường phân thức hữu tỉ $K(U, V, X, Y)$ theo 4 bất định, bởi vành đa thức $K[U, V, X, Y]$ và bởi một nghiệm $z$ của đa thức $F = Z^7 - U^5X^2 - V^4Y^3$. Bây giờ chứng minh rằng $B$ là một vành nhân tử (xem bài tập 7).

(b) Cho $p$ là iđêan (nguyên tố) sinh bởi $X, Y, U, V$ và $z$ trong $A$, và đặt $C = A_p[[T]]$; chứng minh rằng $C$ là một vành địa phương Noether, không là vành nhân tử, nhưng vành phân bậc liên kết $gr(C)$ của nó là vành nhân tử (dùng bài tập 8).