Exercice 27, § 3

a) Soient K un corps, B l’anneau engendré, dans une clôture algébrique du corps de fractions rationnelles K(U, V, X, Y) à 4 indéterminées, par l’anneau de polynômes K[U, V, X, Y] et par une racine z du polynôme F = Z^7 - U^5X^2 - V^4Y^3. Montrer que B est un anneau factoriel (cf. exerc. 7).

b) Soit p l’idéal (premier) engendré par X, Y, U, V et z dans A, et posons C = A_p[[T]]; montrer que C est un anneau local noethérien, qui n’est pas factoriel, mais dont le gradué associé gr(C) est factoriel (utiliser l’exerc. 8).