Bài tập 3, § 3

(a) Cho $A = \bigoplus_{n \geq 0} A_n$ là một đại số phân bậc với các bậc dương trên một trường $k$; giả sử rằng $A_0 = k$, và rằng $A$ là một vành Krull. Chứng minh rằng, để $A$ là nhân tử, điều kiện cần và đủ là mọi iđêan nguyên tố phân bậc $p$ có chiều cao 1 trong $A$ đều có dạng $p = Aa$, trong đó $a$ là một phần tử thuần nhất (dùng bài tập 16 của § 1). Chứng minh rằng mọi phần tử thuần nhất $\neq 0$ của $A$ là một tích của các phần tử cực thuần nhất.

(b) Cho $A$ là một $k$-đại số phân bậc thỏa mãn các điều kiện của a). Cho $k'$ là một mở rộng của $k$, và giả sử rằng $A \otimes_k k'$ là một vành nhân tử; chứng minh rằng $A$ là nhân tử. (Nếu một iđêan phân bậc $a$ của $A$ sao cho $a \otimes_k k'$ là chính trong $A \otimes_k k'$, hãy chứng minh rằng $a$ là chính; khi đó dùng a)).