Exercice 3, § 3

a) Soit $A = \bigoplus_{n \geq 0} A_n$ une algèbre graduée à degrés positifs sur un corps $k$; on suppose que $A_0 = k$, et que $A$ est un anneau de Krull. Montrer que, pour que $A$ soit factoriel, il faut et il suffit que tout idéal premier gradué $p$ de hauteur 1 dans $A$ soit de la forme $p = Aa$, où $a$ est un élément homogène (utiliser l’exerc. 16 du § 1). Montrer que tout élément homogène $\neq 0$ de $A$ est produit d’éléments extrémaux homogènes.

b) Soit $A$ une $k$-algèbre graduée vérifiant les conditions de a). Soit $k'$ une extension de $k$, et supposons que $A \otimes_k k'$ soit un anneau factoriel; montrer que $A$ est factoriel. (Si un idéal gradué $a$ de $A$ est tel que $a \otimes_k k'$ soit principal dans $A \otimes_k k'$, montrer que $a$ est principal; utiliser ensuite a)).