Bài tập 5, § 3

a) Cho $k$ là một vành Noether phân tích được, $B$ là vành đa thức $k[X_1, \ldots, X_n]$ với $n \geq 3$; cho $g_i$ ($0 \leq i \leq r$) là các phần tử của $k[X_3, \ldots, X_n]$ trong đó $g_0$ là cực biên. Đặt $g = X_1X_2 - \sum_{i=0}^r g_i X_1^i$, và xét vành thương $A = B/gB$. Bây giờ chứng minh rằng $A$ là phân tích được. (Cho $S$ là tập con nhân của $A$ sinh bởi 1 và ảnh của $X_1$ trong $A$; áp dụng cho $S^{-1}A$ Mệnh đề 3 của No. 4).

b) Cho $k$ là một trường có đặc số $\neq 2$, $F$ là một đa thức thuần nhất bậc hai của $k[X_1, \ldots, X_n]$ với $n \geq 5$, sao cho hàm đa thức tương ứng trên $k^n$ là một dạng toàn phương không suy biến. Bây giờ chứng minh rằng vành $k[X_1, \ldots, X_n]/(F)$ là phân tích được. (Trước hết sẽ chứng minh rằng một đa thức thuần nhất G bậc hai trong $k[X_1, \ldots, X_n]$, sao cho hàm đa thức tương ứng là một dạng toàn phương không suy biến, là cực biên với $n \geqslant 3$. Tiếp theo chứng minh mệnh đề khi $k$ đóng đại số, sử dụng $a$); cuối cùng chuyển sang trường hợp tổng quát với sự trợ giúp của Bài tập 3 b)).

c) Nếu $F = X_1X_2 - X_3X_4$, bây giờ chứng minh rằng vành $k[X_1, X_2, X_3, X_4]/(F)$ không là phân tích được. (Chỉ ra rằng các ảnh của các $X_i$ trong vành này là các phần tử cực biên).