Exercice 5, § 3

a) Soient $k$ un anneau factoriel noethérien, $B$ l’anneau de polynômes $k[X_1, \ldots, X_n]$ avec $n \geq 3$; soient $g_i$ ($0 \leq i \leq r$) des éléments de $k[X_3, \ldots, X_n]$ où $g_0$ est extrémal. On pose $g = X_1X_2 - \sum_{i=0}^r g_i X_1^i$, et on considère l’anneau quotient $A = B/gB$. Montrer que $A$ est factoriel. (Soit $S$ la partie multiplicative de $A$ engendrée par 1 et l’image de $X_1$ dans $A$; appliquer à $S^{-1}A$ la prop. 3 du n° 4).

b) Soient $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$, $F$ un polynôme homogène du second degré de $k[X_1, \ldots, X_n]$ avec $n \geq 5$, tel que la fonction polynôme correspondante sur $k^n$ soit une forme quadratique non dégénérée. Montrer que l’anneau $k[X_1, \ldots, X_n]/(F)$ est factoriel. (On prouvera d’abord qu’un polynôme homogène G du second degré dans $k[X_1, \ldots, X_n]$, tel que la fonction polynôme correspondante soit une forme quadratique non dégénérée, est extrémal pour $n \geqslant 3$. Prouver ensuite la proposition lorsque $k$ est algébriquement clos, en utilisant $a$); passer enfin au cas général à l’aide de l’exerc. 3 b)).

c) Si $F = X_1X_2 - X_3X_4$, montrer que l’anneau $k[X_1, X_2, X_3, X_4]/(F)$ n’est pas factoriel. (Montrer que les images des $X_i$ dans cet anneau sont des éléments extrémaux).