Bài tập 11, § 4

Cho $A$ là một miền Krull và $M, N$ là hai dàn sinh hữu hạn trong một không gian vectơ $V$ hạng hữu hạn $n$ trên trường các phân thức của $A$. Với mọi $c \neq 0$ trong $A$ sao cho $cN \subset M$, xét các iđêan định thức $d_k(M/cN)$ (Bài tập 10) và viết:

(a) Chứng minh rằng $d_k(N, M)$ không phụ thuộc vào lựa chọn $c$ sao cho $cN \subset M$; $d_k(N, M)$ được gọi là ước định thức chỉ số $k$ của $N$ đối với $M$. (b) $d_k(N, M) \geq d_{k+1}(N, M)$ và $d_n(N, M) = 0$. Chứng minh rằng, nếu ta viết thì với $1 \leq k \leq n$; các ước $e_k(N, M)$ được gọi là các nhân tử bất biến của $N$ đối với $M$ (rút gọn về trường hợp $A$ là một miền iđêan chính). (c) Chứng minh rằng $d_0(N, M) = \chi(M, N)$ (no. 5 ). (d) Nếu $M$ là một dàn trong $V$ nhưng $N$ là một dàn trong một không gian con $W$ của $V$ hạng $q < n$, các nhân tử bất biến của $N$ đối với $M \cap W$ được gọi là các nhân tử bất biến của $N$ đối với $M$. Chỉ ra cách mở rộng các Bài tập 8 đến 10 và 14 đến 16 của Đại số, Chương VII, § 4 (giả sử nếu cần trong một số trường hợp rằng $A$ là một miền Noether đóng nguyên).