Bài tập 2, § 4

Cho $f : Z \to Z$ là một ánh xạ. Chứng minh rằng ba tính chất sau là tương đương: a) Tồn tại $n_0, n_1$ trong $Z$ và $P$ trong $Q[T]$ sao cho $f(n) = 0$ với $n \leq n_1$ và $f(n) = P(n)$ với $n \geq n_0$. b) Tồn tại một họ giá hữu hạn $(a_i)_{i \in Z}$ gồm các phần tử của $Z$ sao cho $f(n) = \sum_{i \in Z} a_i \binom{n + i}{i}$ với mọi $n \in Z$. c) Tồn tại $r \in Z$ và $Q \in Z[T, T^{-1}]$ sao cho $\sum_{n \in Z} f(n) \; T^n = (1 - T)^r Q(T)$. Khi đó người ta nói rằng $f$ là đa thức tại vô cực. Tổng quát hóa sang trường hợp các ánh xạ từ $Z$ vào một môđun $Z$ tùy ý.