Exercice 2, § 4

Soit $f : Z \to Z$ une application. Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes : a) Il existe $n_0, n_1$ dans $Z$ et $P$ dans $Q[T]$ tels que $f(n) = 0$ pour $n \leq n_1$ et $f(n) = P(n)$ pour $n \geq n_0$. b) Il existe une famille à support fini $(a_i)_{i \in Z}$ d’éléments de $Z$ telle que $f(n) = \sum_{i \in Z} a_i \binom{n + i}{i}$ pour tout $n \in Z$. c) Il existe $r \in Z$ et $Q \in Z[T, T^{-1}]$ tels que $\sum_{n \in Z} f(n) \; T^n = (1 - T)^r Q(T)$. On dit alors que $f$ est polynomiale à l’infini. Généraliser au cas des applications de $Z$ dans un $Z$-module quelconque.