Bài tập 4, § 4

Đặt mình vào tình huống của Định lý 1 của § 4, No. 2, và ký hiệu $C$ là tập hợp các lớp của các môđun $H$ phân bậc kiểu hữu hạn với các thành phần có độ dài hữu hạn trên $H_0$, và $K(C)$ là nhóm Grothendieck tương ứng. (a) Với mọi $H$-môđun $M$ như trên, bây giờ chứng minh rằng tồn tại một $H_0$-môđun phân bậc có độ dài hữu hạn $M_0$ và một đồng cấu phân bậc toàn ánh $p : H \otimes_{H_0} M_0 \to M$. Suy ra rằng mọi $H$-môđun $M$ như trên thừa nhận một giải phân bậc (A, X, p. 56) bởi các $H$-môđun:

trong đó, với mọi $i$, $M_i$ là một $H_0$-môđun phân bậc có độ dài hữu hạn. (b) Sử dụng một giải Koszul của $H$-môđun $H_0$ (A, X, p. 152), bây giờ chứng minh rằng với mọi $H$-môđun phân bậc $M$, $\operatorname{Tor}_j^H(H_0, M)$ được trang bị một cách chính tắc với một phép phân bậc, rằng $\operatorname{Tor}_j^H(H_0, M) = 0$ với $j > \operatorname{Card}(I)$ và rằng $\operatorname{Tor}_j^H(H_0, P \otimes_{H_0} H)$ là một $H_0$-môđun có độ dài hữu hạn với mọi $j$ khi $P$ là một $H_0$-môđun có độ dài hữu hạn.

c) Chứng minh rằng với mọi $j$, $\mathrm{Tor}_j^H(H_0, M)$ là một $H_0$-môđun phân bậc có độ dài hữu hạn khi $M$ có kiểu $\mathscr{C}$. (Điều này có thể được chứng minh bằng quy nạp tăng theo $j$. Nếu $j = 0$, dùng $a$) và b). Trong trường hợp tổng quát, dùng một dãy khớp $0 \to N \to H \otimes_{H_0} M_0 \to M \to 0$, giả thiết quy nạp và b).) d) Với mọi $H$-môđun $M$ có kiểu $\mathscr{C}$, đặt

do đó thu được một phần tử của $K(\mathscr{C}_0)[T, T^{-1}]$ trong đó $K(\mathscr{C}_0)$ là nhóm Grothendieck của các $H_0$-môđun có độ dài hữu hạn. Chứng minh rằng $M \mapsto e(M)$ là cộng tính trên các dãy khớp của các $H$-môđun phân bậc, và do đó $M \mapsto e(M)$ xác định một đồng cấu nhóm Với mọi $H_0$-môđun phân bậc $P$ có độ dài hữu hạn, đặt Chứng minh rằng $P \mapsto \tau(P)$ là cộng tính trên các dãy khớp và do đó $P \mapsto \tau(P)$ xác định một đồng cấu giữa các nhóm Grothendieck tương ứng Chứng minh rằng $e$ và $\tau$ là các đẳng cấu nhóm nghịch đảo. (Trước hết chứng minh rằng $e \circ \tau$ là đồng nhất. Để chứng minh mệnh đề, do đó chỉ cần chứng minh rằng $\tau$ là toàn ánh, nghĩa là chứng minh rằng với mọi $H$-môđun $M$ có kiểu $\mathscr{C}$, $[M]$ thuộc ảnh của $\tau$. Nhận xét rằng $M$ thừa nhận một lọc hữu hạn mà các thương liên tiếp của nó bị triệt tiêu bởi một iđêan cực đại của $H_0$ và rằng một $H$-môđun $M$ có kiểu $\mathscr{C}$, bị triệt tiêu bởi một iđêan cực đại $m$ của $H_0$, thừa nhận một phân giải phân bậc hữu hạn bởi các $H/mH$-môđun tự do có kiểu hữu hạn (A, X, p. 56).) e) Cho $M$ là một $H$-môđun có kiểu $\mathscr{C}$. Chứng minh rằng ta có trong $K(\mathscr{C})$ f) Cho $\Gamma$ là một nhóm giao hoán và $\Phi : K(\mathscr{C}) \to \Gamma$ là một đồng cấu nhóm. Với mọi $H_0$-môđun có độ dài hữu hạn $P$, đặt Chứng minh rằng với mọi $H$-môđun $M$ có kiểu $\mathscr{C}$, ta có Đặc biệt, với ký hiệu của Nhận xét 4 của § 4, No. 2, chứng minh rằng ta có và do đó g) Dùng các kết quả trước đó, hãy đưa ra một chứng minh mới của Định lý 1 của § 4, No. 1. h) Cho $\Gamma$ là một nhóm giao hoán. Mô tả tất cả các ánh xạ cộng tính $M \mapsto \Phi(M)$ trên các $H$-môđun có kiểu $\mathscr{C}$ nhận giá trị trong $\Gamma$, theo các ánh xạ từ $\mathrm{Specmax}(H_0) \times \mathbf{Z}$ vào $\Gamma$. i) Giả sử rằng $H_0$ là một trường. Cho $A$ là một vành. Mô tả tất cả các ánh xạ cộng tính $M \mapsto C(M)$ nhận giá trị trong $A$ sao cho $C(M).C(N) = \sum_j (-1)^j C(\mathrm{Tor}_j^H(M, N))$ với mọi cặp $M$ và $N$ là các $H$-môđun phân bậc có kiểu hữu hạn.