Exercice 4, § 4

Plaçons-nous dans la situation du th. 1 du § 4, no 2, et notons $C$ l’ensemble des classes de $H$-modules gradués de type fini à composantes de longueur finie sur $H_0$, et $K(C)$ le groupe de Grothendieck correspondant. a) Pour tout $H$-module $M$ comme ci-dessus, montrer qu’il existe un $H_0$-module gradué de longueur finie $M_0$ et un homomorphisme gradué surjectif $p : H \otimes_{H_0} M_0 \to M$. En déduire que tout $H$-module $M$ comme ci-dessus admet une résolution graduée (A, X, p. 56) par des $H$-modules :

où pour tout $i$, $M_i$ est un $H_0$-module gradué de longueur finie. b) En utilisant une résolution de Koszul du $H$-module $H_0$ (A, X, p. 152), montrer que pour tout $H$-module gradué $M$, $\operatorname{Tor}_j^H(H_0, M)$ est muni canoniquement d’une graduation, que $\operatorname{Tor}_j^H(H_0, M) = 0$ pour $j > \operatorname{Card}(I)$ et que $\operatorname{Tor}_j^H(H_0, P \otimes_{H_0} H)$ est un $H_0$-module de longueur finie pour tout $j$ lorsque $P$ est un $H_0$-module de longueur finie.

c) Montrer que pour tout $j$, $\mathrm{Tor}_j^H(H_0, M)$ est un $H_0$-module gradué de longueur finie lorsque $M$ est de type $\mathscr{C}$. (On pourra le montrer par récurrence croissante sur $j$. Si $j = 0$, utiliser a) et b). Dans le cas général, utiliser une suite exacte $0 \to N \to H \otimes_{H_0} M_0 \to M \to 0$, l’hypothèse de récurrence et b).) d) Pour tout $H$-module $M$ de type $\mathscr{C}$, on pose

obtenant ainsi un élément de $K(\mathscr{C}_0)[T, T^{-1}]$ où $K(\mathscr{C}_0)$ est le groupe de Grothendieck des $H_0$-modules de longueur finie. Montrer que $M \mapsto e(M)$ est additif sur les suites exactes de $H$-modules gradués, et que par suite $M \mapsto e(M)$ détermine un homomorphisme de groupes Pour tout $H_0$-module gradué $P$ de longueur finie, on pose Montrer que $P \mapsto \tau(P)$ est additif sur les suites exactes et que par suite $P \mapsto \tau(P)$ détermine un homomorphisme entre les groupes de Grothendieck correspondants Montrer que $e$ et $\tau$ sont des isomorphismes de groupes inverses l’un de l’autre. (On montrera d’abord que $e \circ \tau$ est l’identité. Pour démontrer l’assertion, il suffit donc de montrer que $\tau$ est surjectif, c’est-à-dire de montrer que pour tout $H$-module $M$ de type $\mathscr{C}$, $[M]$ appartient à l’image de $\tau$. On remarquera que $M$ admet une filtration finie dont les quotients successifs sont annulés par un idéal maximal de $H_0$ et qu’un $H$-module $M$ de type $\mathscr{C}$, annulé par un idéal maximal $m$ de $H_0$, admet une résolution graduée finie par des $H/mH$-modules libres de type fini (A, X, p. 56).) e) Soit $M$ un $H$-module de type $\mathscr{C}$. Montrer qu’on a dans $K(\mathscr{C})$ f) Soient $\Gamma$ un groupe commutatif et $\Phi : K(\mathscr{C}) \to \Gamma$ un homomorphisme de groupes. Pour tout $H_0$-module de longueur finie $P$, posons Montrer que pour tout $H$-module $M$ de type $\mathscr{C}$, on a En particulier, avec les notations de la remarque 4 du § 4, n° 2 montrer que l’on a et par suite que g) Donner à l’aide des résultats précédents une nouvelle démonstration du th. 1 du § 4, n° 1. h) Soit $\Gamma$ un groupe commutatif. Décrire toutes les applications additives $M \mapsto \Phi(M)$ sur les $H$-modules de type $\mathscr{C}$ à valeurs dans $\Gamma$, en termes d’applications de $\mathrm{Specmax}(H_0) \times \mathbf{Z}$ dans $\Gamma$. i) On suppose que $H_0$ est un corps. Soit $A$ un anneau. Décrire toutes les applications additives $M \mapsto C(M)$ à valeurs dans $A$ telles que $C(M).C(N) = \sum_j (-1)^j C(\mathrm{Tor}_j^H(M, N))$ pour tout couple $M$ et $N$ de $H$-modules gradués de type fini.