Bài tập 5, § 4

(a) Cho H là một vành phân bậc kiểu N, sao cho H_0 là một trường và H là một đại số H_0 kiểu hữu hạn. Cho M và N là hai H-môđun phân bậc kiểu hữu hạn. Đặt T_i = Tor_i^H(M, N). Chứng minh đẳng thức

(b) Cho A là một vành địa phương Noether, M và N là hai A-môđun. Chứng minh rằng nếu, với m \in \mathbf{Z} và i \geq 1, Tor_i^{grm(A)}(gr_m(M), gr_m(N)) là không, thì ta có Tor_i^A(M, N) = 0 với i \geq 1 và $H_{M \otimes_A N, m} = \frac{H_{M,m} \cdot H_{N,m}}{H_{A,m}}$ với $m \in \mathbf{Z}$.