Exercice 5, § 4

Algèbre commutative, VIII, p. 90

a) Soit H un anneau gradué de type N, tel que H_0 soit un corps et H une H_0-algèbre de type fini. Soient M et N deux H-modules gradués de type fini. Posons T_i = Tor_i^H(M, N). Démontrer l’égalité

\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i P_{T_i} = \frac{P_M \cdot P_N}{P_H}.

b) Soient A un anneau local noethérien, M et N deux A-modules. Montrer que si, pour m \in \mathbf{Z} et i \geq 1, Tor_i^{grm(A)}(gr_m(M), gr_m(N)) est nul, alors on a Tor_i^A(M, N) = 0 pour i \geq 1 et $H_{M \otimes_A N, m} = \frac{H_{M,m} \cdot H_{N,m}}{H_{A,m}}$ pour $m \in \mathbf{Z}$ .

Solution

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