Bài tập 1, § 6

Cho A là một vành, $\mathfrak{p}$ là một iđêan nguyên tố phân bậc của A[T] và $\mathfrak{p}_0$ là iđêan nguyên tố $\mathfrak{p} \cap A$ của A. (a) Nếu $T \in \mathfrak{p}$, thì $\mathfrak{p} = \mathfrak{p}_0 + T.A[T]$. (b) Nếu $T \notin \mathfrak{p}$, thì $\mathfrak{p} = \mathfrak{p}_0 . A[T]$. (c) Suy ra rằng, trong trường hợp (a) ta có $\mathrm{htgr}(\mathfrak{p}) = \mathrm{ht}(\mathfrak{p}_0) + 1$, và trong trường hợp (b), ta có $\mathrm{htgr}(\mathfrak{p}) = \mathrm{ht}(\mathfrak{p}_0)$. (d) Bây giờ chứng minh rằng $\dim_{\mathrm{gr}}(A[T]) = \dim(A) + 1$. (e) Suy ra một ví dụ về một vành phân bậc B sao cho $\dim(B) \neq \dim_{\mathrm{gr}}(B)$ (p. 84, bài tập 7).