Exercice 1, § 6

Soient A un anneau, $\mathfrak{p}$ un idéal premier gradué de A[T] et $\mathfrak{p}_0$ l’idéal premier $\mathfrak{p} \cap A$ de A. a) Si $T \in \mathfrak{p}$, alors $\mathfrak{p} = \mathfrak{p}_0 + T.A[T]$. b) Si $T \notin \mathfrak{p}$, alors $\mathfrak{p} = \mathfrak{p}_0 . A[T]$. c) En déduire que, dans le cas a) on a $\mathrm{htgr}(\mathfrak{p}) = \mathrm{ht}(\mathfrak{p}_0) + 1$, et dans le cas b), on a $\mathrm{htgr}(\mathfrak{p}) = \mathrm{ht}(\mathfrak{p}_0)$. d) Montrer que $\mathrm{dimgr}(A[T]) = \dim(A) + 1$. e) En déduire un exemple d’anneau gradué B tel que $\dim(B) \neq \mathrm{dimgr}(B)$ (p. 84, exerc. 7).