Bài tập 2, § 6

Cho $A$ là một vành, và $\mathscr{F} = (\mathscr{F}_i)_{i \in \mathbf{Z}}$ là một lọc giảm của A sao cho $\mathscr{F}_i = A$ với $i \leq 0$. Cho $\mathscr{A}$ là vành con $\bigoplus_{i \in \mathbf{Z}} \mathscr{F}_i . v^{-i}$ của $A[v, v^{-1}]$ và cho $\mathrm{gr}_{\mathscr{F}}(A)$ là vành phân bậc liên kết với vành được lọc (A, $\mathscr{F}$). (a) Chứng minh rằng đồng cấu $f : \mathscr{A} \to \mathrm{gr}_{\mathscr{F}}(A)$ xác định bởi $f(\sum_i a_i v^{-i}) = \sum_i \overline{a}_i$, trong đó $\overline{a}_i$ là lớp của $a_i$ trong $\mathscr{F}_i / \mathscr{F}_{i+1}$, gây ra một đẳng cấu của $\mathscr{A}/v.\mathscr{A}$ với $\mathrm{gr}_{\mathscr{F}}(A)$. (b) Chứng minh rằng với mọi phần tử khả nghịch $v_0$ trong A, đồng cấu $e_{v_0} : \mathscr{A} \to A$ xác định bởi

gây ra một đẳng cấu của $\mathscr{A}/(v - v_0) \mathscr{A}$ với A. (c) Chứng minh rằng $\mathscr{A}/A[v]$ là một $A[v]$-môđun xoắn. (d) Giả sử bây giờ rằng A chứa một trường k, chứng minh rằng cấu xạ hợp thành làm cho $\mathscr{A}$ là một $k[v]$-môđun không xoắn. Suy ra rằng $\mathscr{A}$ là một $k[v]$-môđun phẳng. (e) Giả sử rằng A là địa phương, với iđêan cực đại $m$, và chứa một trường $k$ sao cho A là tổng trực tiếp của $k$ và $m$ (như nhóm cộng). Chứng minh rằng tồn tại một iđêan S của $\mathscr{A}$ sao cho $\mathscr{A}$ là tổng trực tiếp của $k[v]$ và S (ta đã đặt $\mathscr{F}_i = m^i$ với mọi $i \in \mathbf{Z}$).