Exercice 2, § 6

Soient A un anneau, et $\mathscr{F} = (\mathscr{F}_i)_{i \in \mathbf{Z}}$ une filtration décroissante de A telle que $\mathscr{F}_i = A$ pour $i \leq 0$. Soit $\mathscr{A}$ le sous-anneau $\bigoplus_{i \in \mathbf{Z}} \mathscr{F}_i . v^{-i}$ de $A[v, v^{-1}]$ et soit $\mathrm{gr}_{\mathscr{F}}(A)$ l’anneau gradué associé à l’anneau filtré (A, $\mathscr{F}$). a) Montrer que l’homomorphisme $f : \mathscr{A} \to \mathrm{gr}_{\mathscr{F}}(A)$ défini par $f(\sum_i a_i v^{-i}) = \sum_i \overline{a}_i$, où $\overline{a}_i$ est la classe de $a_i$ dans $\mathscr{F}_i / \mathscr{F}_{i+1}$, induit un isomorphisme de $\mathscr{A}/v.\mathscr{A}$ avec $\mathrm{gr}_{\mathscr{F}}(A)$. b) Montrer que pour tout élément $v_0$ inversible dans A, l’homomorphisme $e_{v_0} : \mathscr{A} \to A$ défini par

induit un isomorphisme de $\mathscr{A}/(v - v_0) \mathscr{A}$ avec A. c) Montrer que $\mathscr{A}/A[v]$ est un $A[v]$-module de torsion. d) Supposant maintenant que A contient un corps k, montrer que le morphisme composé fait de $\mathscr{A}$ un $k[v]$-module sans torsion. En déduire que $\mathscr{A}$ est un $k[v]$-module plat. e) Supposons que A soit local, d’idéal maximal $m$, et contienne un corps $k$ tel que A soit somme directe de $k$ et $m$ (comme groupe additif). Montrer qu’il existe un idéal S de $\mathscr{A}$ tel que $\mathscr{A}$ soit somme directe de $k[v]$ et S (on a posé $\mathscr{F}_i = m^i$ pour tout $i \in \mathbf{Z}$).