Bài tập 6, § 6

Cho $\rho : A \to B$ là một đơn cấu giữa các vành Noether, làm cho $B$ trở thành một đại số $A$ kiểu hữu hạn. Cho $q$ là một iđêan nguyên tố của $B$ phân biệt với $B$, và đặt $p = \rho^{-1}(q)$. a) Bây giờ chứng minh rằng, với các ký hiệu của bài tập trước, ta có bất đẳng thức

(Có thể tiến hành bằng quy nạp trên $d_A(B)$.) b) Bây giờ chứng minh rằng nếu đại số $A$-đại số $B$ được sinh bởi $d$ phần tử và $d_A(B) = d$, thì có đẳng thức trong (). c) Bây giờ chứng minh rằng nếu $A$ là nguyên và sao cho vành đa thức $A[T_1, ..., T_n]$ là catenary với mọi $n$, thì có đẳng thức trong () đối với mọi $A$-đại số nguyên kiểu hữu hạn $B$ và mọi iđêan nguyên tố $q$ của $B$ phân biệt với $B$.