Exercice 6, § 6

Soit $\rho : A \to B$ un homomorphisme injectif d’anneaux noethériens, faisant de $B$ une $A$-algèbre de type fini. Soit $q$ un idéal premier de $B$ distinct de $B$, et posons $p = \rho^{-1}(q)$. a) Montrer que l’on a, avec les notations de l’exercice précédent, l’inégalité

(On pourra procéder par récurrence sur $d_A(B)$.) b) Montrer que si la $A$-algèbre $B$ est engendrée par $d$ éléments et $d_A(B) = d$, on a égalité dans (). c) Montrer que si $A$ est intègre et tel que l’anneau de polynômes $A[T_1, ..., T_n]$ soit caténaire pour tout $n$, on a égalité dans () pour toute $A$-algèbre intègre de type fini $B$ et tout idéal premier $q$ de $B$ distinct de $B$.