Bài tập 11, § 1

Cho $A$ là một vành, $M$ là một $A$-môđun, $x_1,\ldots,x_r$ là các phần tử của $A$. (a) Với mọi số nguyên $p$ sao cho $1 \leq p \leq r$, đặt $M_p = M/(x_2M+\ldots+x_pM)$. Chứng minh rằng nếu dãy $(x_1,\ldots,x_r)$ là $M$-chính quy, thì dãy $(x_1,x_{p+1},x_{p+2},\ldots,x_r)$ là $M_p$-chính quy (lập luận bằng quy nạp theo $p$). (b) Để các dãy $(x_1,x_3)$ và $(x_2,x_3)$ là $M$-chính quy, điều kiện cần và đủ là dãy $(x_1x_2,x_3)$ là $M$-chính quy. (c) Cho $x'_p \in A$ $(1 \leq p \leq r)$. Để các dãy $(x_1,\ldots,x_p,\ldots,x_r)$ và $(x_1,\ldots,x'_p,\ldots,x_r)$ là $M$-chính quy, điều kiện cần và đủ là dãy $(x_1,\ldots,x_p x'_p,\ldots,x_r)$ là $M$-chính quy (sử dụng $a$ và $b$). (d) Cho $n_1,\ldots,n_r$ là các số nguyên $\geq 1$. Để dãy $(x_1^{n_1},\ldots,x_r^{n_r})$ là $M$-chính quy, điều kiện cần và đủ là dãy $(x_1,\ldots,x_r)$ là $M$-chính quy.