Exercice 11, § 1

Soient $A$ un anneau, $M$ un $A$-module, $x_1,\ldots,x_r$ des éléments de $A$. a) Pour tout entier $p$ tel que $1 \leq p \leq r$, on pose $M_p = M/(x_2M+\ldots+x_pM)$. Prouver que si la suite $(x_1,\ldots,x_r)$ est $M$-régulière, la suite $(x_1,x_{p+1},x_{p+2},\ldots,x_r)$ est $M_p$-régulière (raisonner par récurrence sur $p$). b) Pour que les suites $(x_1,x_3)$ et $(x_2,x_3)$ soient $M$-régulières, il faut et il suffit que la suite $(x_1x_2,x_3)$ soit $M$-régulière. c) Soit $x'_p \in A$ $(1 \leq p \leq r)$. Pour que les suites $(x_1,\ldots,x_p,\ldots,x_r)$ et $(x_1,\ldots,x'_p,\ldots,x_r)$ soient $M$-régulières, il faut et il suffit que la suite $(x_1,\ldots,x_p x'_p,\ldots,x_r)$ soit $M$-régulière (utiliser $a$ et $b$). d) Soient $n_1,\ldots,n_r$ des entiers $\geq 1$. Pour que la suite $(x_1^{n_1},\ldots,x_r^{n_r})$ soit $M$-régulière, il faut et il suffit que la suite $(x_1,\ldots,x_r)$ soit $M$-régulière.