Bài tập 14, § 1

Cho $A$ là một vành địa phương Noether đầy đủ.

a) Bài tập chứng minh rằng một iđêan của $A$ được chứa trong hợp của một dãy các iđêan nguyên tố của $A$ thì được chứa trong một trong các iđêan đó (nhận xét rằng không gian tôpô $A$ là một không gian Baire, cf. TG, IX, p. 55, Định lý 1).

b) Cho $M$ là một $A$-môđun nhận một họ sinh đếm được. Bài tập chứng minh rằng các kết luận của định lý 2 vẫn được thỏa mãn (nhận xét rằng tập hợp $\mathrm{Ass}(M)$ là đếm được, và suy ra từ a) rằng nếu $\mathrm{prof}_A(J; M) > 0$, tồn tại một phần tử $x$ của $J$ sao cho phép vị tự $x_M$ là đơn ánh).