Exercice 14, § 1

Soit $A$ un anneau local noethérien complet.

a) Démontrer qu’un idéal de $A$ qui est contenu dans la réunion d’une suite d’idéaux premiers de $A$ est contenu dans l’un d’eux (observer que l’espace topologique $A$ est un espace de Baire, cf. TG, IX, p. 55, th. 1).

b) Soit $M$ un $A$-module admettant une famille génératrice dénombrable. Démontrer que les conclusions du th. 2 sont encore satisfaites (observer que l’ensemble $\mathrm{Ass}(M)$ est dénombrable, et déduire de a) que si $\mathrm{prof}_A(J; M) > 0$, il existe un élément $x$ de $J$ tel que l’homothétie $x_M$ soit injective).