Bài tập 10, § 5

Cho $A$ là một vành định giá rời rạc, $v$ là định giá chuẩn hóa của nó, $K$ là trường các phân thức của nó. Xét một $A$-đại số Noether $\!B$ được trang bị một đồng cấu của các $A$-đại số $\varepsilon : B \to A$. Ta ký hiệu bởi $I$ hạt nhân của $\varepsilon$, và bởi $J$ linh hóa tử của nó trong $B$.

(a) Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: (i) $A$-môđun $I/I^2$ có độ dài hữu hạn ; (ii) vành địa phương của $K \otimes_A B$ tại iđêan cực đại $K \otimes_A I$ là đẳng cấu (như một $K$-đại số) với $K$ ; (iii) có $K \otimes_A B = (K \otimes_A I) \oplus (K \otimes_A J)$.

Bây giờ giả sử rằng các điều kiện này được thỏa mãn ; ta ký hiệu bởi $\gamma(B, \varepsilon)$, hoặc đơn giản là $\gamma(B)$, độ dài của $A$-môđun $I/I^2$, và bởi $\eta(B, \varepsilon)$, hoặc đơn giản là $\eta(B)$, độ dài của $A$-môđun $A/\varepsilon(J)$.

(b) Cho $b$ là một iđêan của $B$ được chứa trong $I$ ; ta xét $A$-đại số $B' = B/b$ và đồng cấu $\varepsilon' : B' \to A$ suy ra từ $\varepsilon$. Chứng minh rằng $B'$ cũng thỏa mãn các điều kiện của (a), và có $\gamma(B', \varepsilon') \leq \gamma(B, \varepsilon)$ và $\eta(B', \varepsilon') \leq \eta(B, \varepsilon)$.

(c) Giả sử rằng $A$-môđun $B$ là tự do hữu hạn kiểu. Chứng minh rằng $J$ là một $A$-môđun tự do hạng một, là một nhân tử trực tiếp trong $B$, và có $\mathrm{Tr}_{B/A}(x) = \varepsilon(x)$ với mọi $x \in J$.

(d) Hơn nữa, giả sử rằng $B$ là một vành Gorenstein ; ký hiệu bởi $\ell$ một cơ sở của $B$-môđun $B^*$ (§ 3, exerc. 5), và bởi $\delta$ một phần tử sinh của iđêan biệt thức của $B$ trên $A$ (exerc. 7, b)). Chứng minh đẳng thức $\eta(B) = v(\varepsilon(\delta))$ (chứng minh rằng $\ell(J)$ bằng $A$, và sử dụng (c)).

e) Ta đặt mình vào tình huống của b), với $b \neq 0$ ; ta giả sử rằng các $A$-đại số $B$ và $B'$ là hữu hạn và phẳng, và rằng $B$ là một vành Gorenstein. Chứng minh rằng ta có $\eta(B') < \eta(B)$ (nhận xét rằng ảnh của $J$ trong $B/m_A B$ là đế của $B/m_A B$, do đó được chứa trong $b/m_A b$).