Exercice 10, § 5

Soient $A$ un anneau de valuation discrète, $v$ sa valuation normée, $K$ son corps des fractions. On considère une $A$-algèbre noethérionne $B$ munie d’un homomorphisme de $A$-algèbres $\varepsilon : B \to A$. On note $I$ le noyau de $\varepsilon$, et $J$ son annulateur dans $B$.

a) Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) le $A$-module $I/I^2$ est de longueur finie ; (ii) l’anneau local de $K \otimes_A B$ en l’idéal maximal $K \otimes_A I$ est isomorphe (en tant que $K$-algèbre) à $K$ ; (iii) on a $K \otimes_A B = (K \otimes_A I) \oplus (K \otimes_A J)$.

On suppose désormais que ces conditions sont satisfaites ; on note $\gamma(B, \varepsilon)$, ou simplement $\gamma(B)$, la longueur du $A$-module $I/I^2$, et $\eta(B, \varepsilon)$, ou simplement $\eta(B)$, celle du $A$-module $A/\varepsilon(J)$.

b) Soit $b$ un idéal de $B$ contenu dans $I$ ; on considère la $A$-algèbre $B' = B/b$ et l’homomorphisme $\varepsilon' : B' \to A$ déduit de $\varepsilon$. Prouver que $B'$ vérifie aussi les conditions de a), et que l’on a $\gamma(B', \varepsilon') \leq \gamma(B, \varepsilon)$ et $\eta(B', \varepsilon') \leq \eta(B, \varepsilon)$.

c) On suppose que le $A$-module $B$ est libre de type fini. Prouver que $J$ est un $A$-module libre de rang un, facteur direct dans $B$, et qu’on a $\mathrm{Tr}_{B/A}(x) = \varepsilon(x)$ pour tout $x \in J$.

d) On suppose en outre que $B$ est un anneau de Gorenstein ; on note $\ell$ une base du $B$-module $B^*$ (§ 3, exerc. 5), et $\delta$ un générateur de l’idéal différente de $B$ sur $A$ (exerc. 7, b)). Prouver l’égalité $\eta(B) = v(\varepsilon(\delta))$ (prouver que $\ell(J)$ est égal à $A$, et utiliser c)).

e) On se place dans la situation de b), avec $b \neq 0$ ; on suppose que les $A$-algèbres $B$ et $B'$ sont finies et plates, et que $B$ est un anneau de Gorenstein. Démontrer qu’on a $\eta(B') < \eta(B)$ (observer que l’image de $J$ dans $B/m_A B$ est le socle de $B/m_A B$, donc est contenue dans $b/m_A b$).