Bài tập 11, § 5

Chúng ta giữ lại các ký hiệu của bài tập trước; ta giả sử rằng các vành $A$ và $B$ là địa phương và đầy đủ.

a) Bây giờ chứng minh rằng $B$ đẳng cấu với thương của một đại số các chuỗi hình thức $S = A[[X_1, \ldots, X_n]]$ theo một iđêan $a$ được chứa trong $(X_1, \ldots, X_n)$; có thể lấy $n = \dim_{\kappa_A}(\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2)$, trong đó $\mathfrak{n}$ là ảnh của $m_B$ trong $B/m_A B$.

b) Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: (i) $B$ là một $A$-đại số hữu hạn và phẳng và là một vành giao đầy đủ ; (ii) iđêan $a$ được sinh bởi một dãy $(P_1, \ldots, P_n)$ hoàn toàn ngang cho $\kappa_A \otimes_A S$. (xem bài tập 5.)

c) Nếu các điều kiện này được thỏa mãn, chứng minh rằng ta có $\eta(B) = \gamma(B) = v(\varepsilon(\det(\frac{\partial P_i}{\partial X_j})))$ (dùng bài tập 9 và 10, d)).

d) Bây giờ chứng minh rằng ta có thể tìm một dãy $(f_1, \ldots, f_n)$ gồm các phần tử của $a$ hoàn toàn ngang cho $\kappa_A \otimes_A S$ sao cho $A$-đại số $B' = S/(f_1, \ldots, f_n)$ thỏa mãn $\gamma(B') = \gamma(B)$.

(Suy ra từ dãy khớp $a/a^2 \to \Omega_A(S) \otimes_S B \to \Omega_A(B) \to 0$ (A, III, p. 137) một dãy khớp của các $A$-môđun $a/a^2 \otimes_S A \to \Omega_A(S) \otimes_S A \to I/I^2 \to 0$ ; lấy các phần tử $f_1, \ldots, f_n$ của $a$ sao cho ảnh của chúng trong $\Omega_A(S) \otimes_S A$ lập thành một cơ sở trên $A$ của ảnh của $a/a^2 \otimes_S A$.)

e) Suy ra bằng cách dùng bài tập 10, e) rằng ta có $\gamma(B) \geq \eta(B)$ và rằng đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $B$ là một vành giao đầy đủ.