Exercice 11, § 5

On conserve les notations de l’exercice précédent ; on suppose que les anneaux $A$ et $B$ sont locaux et complets.

a) Montrer que $B$ est isomorphe au quotient d’une algèbre de séries formelles $S = A[[X_1, \ldots, X_n]]$ par un idéal $a$ contenu dans $(X_1, \ldots, X_n)$ ; on peut prendre $n = \dim_{\kappa_A}(\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2)$, où $\mathfrak{n}$ est l’image de $m_B$ dans $B/m_A B$.

b) Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) $B$ est une $A$-algèbre finie et plate et un anneau d’intersection complète ; (ii) l’idéal $a$ est engendré par une suite $(P_1, \ldots, P_n)$ complètement sécante pour $\kappa_A \otimes_A S$. (cf. exerc. 5.)

c) Si ces conditions sont satisfaites, prouver qu’on a $\eta(B) = \gamma(B) = v(\varepsilon(\det(\frac{\partial P_i}{\partial X_j})))$ (utiliser les exerc. 9 et 10, d)).

d) Montrer qu’on peut trouver une suite $(f_1, \ldots, f_n)$ d’éléments de $a$ complètement sécante pour $\kappa_A \otimes_A S$ telle que la $A$-algèbre $B' = S/(f_1, \ldots, f_n)$ satisfasse à $\gamma(B') = \gamma(B)$.

(Déduire de la suite exacte $a/a^2 \to \Omega_A(S) \otimes_S B \to \Omega_A(B) \to 0$ (A, III, p. 137) une suite exacte de $A$-modules $a/a^2 \otimes_S A \to \Omega_A(S) \otimes_S A \to I/I^2 \to 0$ ; prendre des éléments $f_1, \ldots, f_n$ de $a$ dont les images dans $\Omega_A(S) \otimes_S A$ forment une base sur $A$ de l’image de $a/a^2 \otimes_S A$.)

e) En déduire à l’aide de l’exerc. 10, e) que l’on a $\gamma(B) \geq \eta(B)$ et que l’égalité a lieu si et seulement si $B$ est un anneau d’intersection complète.