Bài tập 2, § 5

Cho A là một vành địa phương chính quy, I là một iđêan của A.

a) Nếu $\mathrm{ht}(I) = 1$, chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương : (i) iđêan I là chính ; (ii) $A/I$ là một vành Gorenstein ; (iii) $A/I$ là một vành Macaulay. b) Giả sử $\mathrm{ht}(I) = 2$; để $A/I$ là một vành Gorenstein, điều kiện cần và đủ là iđêan I là một giao đầy đủ (nếu $(L,p)$ là một phân giải xạ ảnh cực tiểu của I, nhận xét rằng $L_1$ có hạng 1 và do đó $L_0$ có hạng 2). c) Cho $k$ là một trường giao hoán ; lấy $A = k[[X,Y,Z]]$ và $I = (XY, YZ, ZX, X^2 - Y^2, Y^2 - Z^2)$. Chứng minh rằng I là một iđêan có cấp chiều cao 3 không phải là một giao đầy đủ, và rằng $A/I$ là một vành Gorenstein.