Exercice 2, § 5

Soient $A$ un anneau local régulier, $I$ un idéal de $A$.

a) Si $\mathrm{ht}(I) = 1$, prouver que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) l’idéal I est principal ; (ii) $A/I$ est un anneau de Gorenstein ; (iii) $A/I$ est un anneau de Macaulay. b) On suppose $\mathrm{ht}(I) = 2$; pour que $A/I$ soit un anneau de Gorenstein, il faut et il suffit que l’idéal I soit complètement sécant (si $(L,p)$ est une résolution projective minimale de I, observer que $L_1$ est de rang 1 et par suite $L_0$ de rang 2). c) Soit $k$ un corps commutatif ; on prend $A = k[[X,Y,Z]]$ et $I = (XY, YZ, ZX, X^2 - Y^2, Y^2 - Z^2)$. Prouver que I est un idéal de hauteur 3 qui n’est pas complètement sécant, et que $A/I$ est un anneau de Gorenstein.