Bài tập 6, § 5

Cho $A$ là một vành địa phương Noether, $I$ là một iđêan của $A$. a) Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: (i) iđêan $I$ là một giao đầy đủ; (ii) $A/I$-môđun $I/I^2$ là tự do và ta có $dp_A(A/I) < +\infty$. (Theo giả thiết (ii), suy ra từ bài tập 2 của § 3 rằng tồn tại một phần tử giản ước được x trong $I$ sao cho $x \not\in m_A I$; lập luận bằng quy nạp theo chiều của $I/I^2$.) b) Chứng minh rằng tập hợp các iđêan nguyên tố $p$ của $A$ mà tại đó iđêan $I_p$ là một giao đầy đủ là mở trong $\mathrm{Spec}(A)$. c) Cho $B$ là một vành trình bày được; chứng minh rằng tập hợp các iđêan nguyên tố q của $B$ sao cho $B_q$ là một vành giao đầy đủ là mở trong $\mathrm{Spec}(B)$.