Exercice 6, § 5

Soient A un anneau local noethérien, I un idéal de A . a) Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) l’idéal I est complètement sécant ; (ii) le $A/I$-module $I/I^2$ est libre et l’on a $dp_A(A/I) < +\infty$. (Sous l’hypothèse (ii), déduire de l’exerc. 2 du § 3 qu’il existe un élément simplifiable x dans I tel que $x \not\in m_A I$; raisonner par récurrence sur la dimension de $I/I^2$.) b) Prouver que l’ensemble des idéaux premiers $p$ de A où l’idéal $I_p$ est complètement sécant est ouvert dans $\mathrm{Spec}(A)$. c) Soit B un anneau présentable ; prouver que l’ensemble des idéaux premiers q de B tels que $B_q$ soit un anneau d’intersection complète est ouvert dans $\mathrm{Spec}(B)$.