Bài tập 7, § 5

Cho $A$ là một vành, $B$ là một $A$-đại số; giả sử rằng $A$-môđun $B$ là tự do hữu hạn kiểu. Trong các bài tập sau, ta ký hiệu $B^*$ là $A$-môđun $\mathrm{Hom}_A(B, A)$, và trang bị cho nó cấu trúc tự nhiên của $B$-môđun. (a) Cho $(e_i)_{i \in I}$ là một cơ sở của $A$-môđun $B$, và $(e_i^*)_{i \in I}$ là cơ sở đối ngẫu của $B^*$. Chứng minh rằng phần tử $\mathrm{Tr}_{B/A}$ của $B^*$ (A, III, p. 110) bằng $\sum_i e_i e_i^*$. (b) Giả sử rằng $B$-môđun $B^*$ là tự do hạng 1; cho $\ell$ là một phần tử tạo thành một cơ sở của môđun này, và cho $\delta$ là phần tử của $B$ sao cho $\mathrm{Tr}_{B/A} = \delta \ell$. Iđêan $\delta B$ của $B$ không phụ thuộc vào lựa chọn của $\ell$; nó được gọi là iđêan khác biệt của $B$ trên $A$. Chứng minh rằng $N_{B/A}(\delta)$ là một phần tử sinh của iđêan biệt thức của $B$ trên $A$ (A, III, p. 115; tính biệt thức của một cơ sở $(e_i)$ của $B$ trên $A$ bằng cách sử dụng ma trận của phép nhân bởi $\delta$ trong cơ sở này).