Exercice 7, § 5

Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre ; on suppose que le $A$-module $B$ est libre de type fini. Dans les exercices qui suivent, on note $B^*$ le $A$-module $\mathrm{Hom}_A(B, A)$, et on le munit de sa structure naturelle de $B$-module. a) Soient $(e_i)_{i \in I}$ une base du $A$-module $B$, et $(e_i^*)_{i \in I}$ la base duale de $B^*$. Prouver que l’élément $\mathrm{Tr}_{B/A}$ de $B^*$ (A, III, p. 110) est égal à $\sum_i e_i e_i^*$. b) On suppose que le $B$-module $B^*$ est libre de rang 1 ; soit $\ell$ un élément formant une base de ce module, et soit $\delta$ l’élément de $B$ tel que $\mathrm{Tr}_{B/A} = \delta \ell$. L’idéal $\delta B$ de $B$ ne dépend pas du choix de $\ell$ ; on l’appelle l’idéal différente de $B$ sur $A$. Prouver que $N_{B/A}(\delta)$ est un générateur de l’idéal discriminant de $B$ sur $A$ (A, III, p. 115 ; calculer le discriminant d’une base $(e_i)$ de $B$ sur $A$ à l’aide de la matrice de la multiplication par $\delta$ dans cette base).