Bài tập 9, § 5

Cho $A$ là một vành, $n$ là một số nguyên, $S$ là đại số $A[X_1, \ldots, X_n]$ (tương ứng $A[[X_1, \ldots, X_n]]$), $a$ là một iđêan của $S$ sinh bởi một dãy $P = (P_1, \ldots, P_n)$ hoàn toàn xuyên ngang đối với $S$. Đặt $B = S/a$, và ký hiệu $\pi$ là đồng cấu chính tắc của $S$ lên $S/a$. Giả sử rằng $A$-môđun $B$ là tự do kiểu hữu hạn. Ta đề nghị chứng minh rằng $B$-môđun $B^*$ là tự do hạng 1 và iđêan khác biệt của $B$ trên $A$ được sinh bởi $\pi(\det(\frac{\partial P_i}{\partial X_j}))$. (a) Đặt $C = S \otimes_A B$ và $\xi_i = X_i \otimes 1 - 1 \otimes \pi(X_i)$ với $1 \leq i \leq n$. Ký hiệu $\varphi : C \to B$ là đồng cấu của các $A$-đại số sao cho $\varphi(P \otimes b) = \pi(P)b$. Chứng minh rằng hạt nhân của $\varphi$ được sinh bởi dãy $\xi = (\xi_1, \ldots, \xi_n)$, và rằng dãy này hoàn toàn xuyên ngang đối với $C$. (b) Cho $(c_{ij}) \in M_n(C)$ là một ma trận thỏa mãn $P_i \otimes 1 = \sum_j c_{ij} \xi_j$. Chứng minh đẳng thức $\pi(\frac{\partial P_i}{\partial X_j}) = \varphi(c_{ij})$. (c) Ma trận $(c_{ij})$ xác định một cấu xạ của các phức $K_\bullet(P, C) \to K_\bullet(\xi, C)$ (A, X, p. 151), do đó một cấu xạ của các phức các $S$-môđun $u : K_\bullet(P, S) \to K_\bullet(\xi, C)$. Đồng cấu $u_n : S \to C$ ánh xạ $1_S$ lên phần tử $d = \det(c_{ij})$ của $C$. (d) Cho $v : \mathrm{Hom}_S(C, S) \otimes_C B \to B$ là đồng cấu $B$-tuyến tính sao cho $v(f \otimes 1) = \pi(f(d))$; chứng minh rằng $v$ là một đẳng cấu (đồng nhất $v$ với $H^n(\mathrm{Hom}_S(u, 1_S))$), và nhận xét rằng mỗi một trong các phức $K_\bullet(P, S)$ và $K_\bullet(\xi, C)$ xác định một phân giải của $B$ bởi các $S$-môđun tự do kiểu hữu hạn. (e) Xét ánh xạ hợp thành $t : \mathrm{Hom}_A(B, A) \to \mathrm{Hom}_S(C, S) \to B$, trong đó mũi tên thứ nhất thu được bởi mở rộng các vô hướng và mũi tên thứ hai được suy ra từ $v$. Chứng minh rằng $t$ là $B$-tuyến tính và song ánh (đồng nhất $\mathrm{Hom}_S(C, S)$ với $\mathrm{Hom}_A(B, A) \otimes_B C$). (f) Chứng minh công thức $t(\mathrm{Tr}_{B/A}) = \varphi(d)$ (biểu diễn $d$ và $\mathrm{Tr}_{B/A}$ bằng cách sử dụng một cơ sở của $B$ và cơ sở đối ngẫu của $B^*$, cf. exerc. 7, a)).

g) Suy ra từ b), e) và f) rằng iđêan khác biệt của B trên A được sinh bởi $\pi(\det(\frac{\partial P_i}{\partial X_j}))$.