Exercice 9, § 5

Soient $A$ un anneau, $n$ un entier, $S$ l’algèbre $A[X_1, \ldots, X_n]$ (resp. $A[[X_1, \ldots, X_n]]$), $a$ un idéal de $S$ engendré par une suite $P = (P_1, \ldots, P_n)$ complètement sécante pour $S$. On pose $B = S/a$, et on désigne par $\pi$ l’homomorphisme canonique de $S$ sur $S/a$. On suppose que le $A$-module $B$ est libre de type fini. On se propose de prouver que le $B$-module $B^*$ est libre de rang 1 et que l’idéal différente de $B$ sur $A$ est engendré par $\pi(\det(\frac{\partial P_i}{\partial X_j}))$. a) On pose $C = S \otimes_A B$ et $\xi_i = X_i \otimes 1 - 1 \otimes \pi(X_i)$ pour $1 \leq i \leq n$. On note $\varphi : C \to B$ l’homomorphisme de $A$-algèbres tel que $\varphi(P \otimes b) = \pi(P)b$. Prouver que le noyau de $\varphi$ est engendré par la suite $\xi = (\xi_1, \ldots, \xi_n)$, et que cette suite est complètement sécante pour $C$. b) Soit $(c_{ij}) \in M_n(C)$ une matrice satisfaisant à $P_i \otimes 1 = \sum_j c_{ij} \xi_j$. Prouver l’égalité $\pi(\frac{\partial P_i}{\partial X_j}) = \varphi(c_{ij})$. c) La matrice $(c_{ij})$ définit un morphisme de complexes $K_\bullet(P, C) \to K_\bullet(\xi, C)$ (A, X, p. 151), d’où un morphisme de complexes de $S$-modules $u : K_\bullet(P, S) \to K_\bullet(\xi, C)$. L’homomorphisme $u_n : S \to C$ applique $1_S$ sur l’élément $d = \det(c_{ij})$ de $C$. d) Soit $v : \mathrm{Hom}_S(C, S) \otimes_C B \to B$ l’homomorphisme $B$-linéaire tel que $v(f \otimes 1) = \pi(f(d))$ ; prouver que $v$ est un isomorphisme (identifier $v$ à $H^n(\mathrm{Hom}_S(u, 1_S))$), et observer que chacun des complexes $K_\bullet(P, S)$ et $K_\bullet(\xi, C)$ définit une résolution de $B$ par des $S$-modules libres de type fini). e) On considère l’application composée $t : \mathrm{Hom}_A(B, A) \to \mathrm{Hom}_S(C, S) \to B$, où la première flèche s’obtient par extension des scalaires et la seconde est déduite de $v$. Prouver que $t$ est $B$-linéaire et bijective (identifier $\mathrm{Hom}_S(C, S)$ à $\mathrm{Hom}_A(B, A) \otimes_B C$). f) Prouver la formule $t(\mathrm{Tr}_{B/A}) = \varphi(d)$ (exprimer $d$ et $\mathrm{Tr}_{B/A}$ à l’aide d’une base de $B$ et de la base duale de $B^*$, cf. exerc. 7, a)).

g) Déduire de b), e) et f) que l’idéal différente de B sur A est engendré par $\pi(\det(\frac{\partial P_i}{\partial X_j}))$.