Bài tập 10, § 7

Cho $A$ là một vành địa phương Noether đầy đủ, $K$ là trường các phân thức của nó. Cho $\mathfrak{p}$ là một iđêan nguyên tố của $A$; ký hiệu $B$ là vành địa phương $A_\mathfrak{p}$ và $\widehat{B}$ là vành đầy đủ của nó. a) Giả sử rằng $A$ chính quy và $K$ có đặc số không. Bây giờ chứng minh rằng đại số $K$-đại số $K \otimes_B \widehat{B}$ là tuyệt đối chính quy. b) Giả sử rằng $A$ chính quy và $K$ có đặc số $p > 0$, sao cho $A$ được đồng nhất với một vành chuỗi lũy thừa hình thức $k[[T_1, \ldots, T_n]]$ (IX, § 3, No. 3, Định lý 2). Ký hiệu $(k_\lambda)_{\lambda \in A}$ là họ các trường con $k_\lambda$ của $k$ chứa $k^p$ và sao cho $k$ là một mở rộng bậc hữu hạn của $k_\lambda$. Cho $\lambda \in A$; ký hiệu $A_\lambda$ là vành $k_\lambda[[T_1^p, \ldots, T_n^p]]$, $B_\lambda$ là vành địa phương của $A_\lambda$ tại iđêan nguyên tố $\mathfrak{p} \cap A_\lambda$, và $K_\lambda$ là trường các phân thức của $A_\lambda$ và $B_\lambda$. Chứng minh rằng đại số $A$-đại số $B$ (được trang bị tôpô rời rạc) là trơn hình thức tương đối với $B_\lambda$ (trước hết có thể chứng minh rằng $\widehat{B}$ là đẳng cấu với $B \otimes_{B_\lambda} \widehat{B_\lambda}$). c) Với các giả thiết của $b$), chứng minh rằng mọi vành địa phương của $K \otimes_B \widehat{B}$ đều có dạng $(\widehat{B})_r$, với $r \in \mathrm{Spec}(\widehat{B})$ và $r \cap B = \{0\}$, và rằng nó trơn hình thức trên $K$ tương đối với $K_\lambda$. Suy ra rằng $K$-đại số $K \otimes_B \widehat{B}$ là tuyệt đối chính quy (chứng minh rằng họ $\{K_\lambda\}_{\lambda \in A}$ các trường con của $K$ là giảm lọc và rằng $\bigcap_{\lambda \in A} K_\lambda = k^p((T_1, \ldots, T_n))$); sau đó áp dụng bài tập 9). d) Trở lại trường hợp tổng quát. Chứng minh rằng $A$ là một vành Grothendieck (§ 6, bài tập 5); nếu $q \in \mathrm{Spec}(B)$, vấn đề là chứng minh rằng $\kappa(q)$-đại số $\kappa(q) \otimes_B \widehat{B}$ là tuyệt đối chính quy; thay thế $A$ bởi $A/(A \cap q)$, ta có thể giả sử rằng $A$ là nguyên và $q = \{0\}$; ta sẽ dùng IX, § 2, No. 3, Định lý 3 và § 3, No. 3, Định lý 2 để rút gọn về trường hợp $A$ là một vành địa phương chính quy đầy đủ.