Exercice 10, § 7

Soient $A$ un anneau local noethérien complet, $K$ son corps des fractions. Soit $\mathfrak{p}$ un idéal premier de $A$ ; on note $B$ l’anneau local $A_\mathfrak{p}$ et $\widehat{B}$ son complété. a) On suppose $A$ régulier et $K$ de caractéristique nulle. Montrer que la $K$-algèbre $K \otimes_B \widehat{B}$ est absolument régulière. b) On suppose $A$ régulier et $K$ de caractéristique $p > 0$, de sorte que $A$ s’identifie à un anneau de séries formelles $k[[T_1, \ldots, T_n]]$ (IX, § 3, n° 3, th. 2). On note $(k_\lambda)_{\lambda \in A}$ la famille des sous-corps $k_\lambda$ de $k$ contenant $k^p$ et tels que $k$ soit une extension de degré fini de $k_\lambda$. Soit $\lambda \in A$ ; on note $A_\lambda$ l’anneau $k_\lambda[[T_1^p, \ldots, T_n^p]]$, $B_\lambda$ l’anneau local de $A_\lambda$ en l’idéal premier $\mathfrak{p} \cap A_\lambda$, et $K_\lambda$ le corps des fractions de $A_\lambda$ et $B_\lambda$. Prouver que la $A$-algèbre $B$ (munie de la topologie discrète) est formellement lisse relativement à $B_\lambda$ (on pourra d’abord montrer que $\widehat{B}$ est isomorphe à $B \otimes_{B_\lambda} \widehat{B_\lambda}$). c) Sous les hypothèses de $b$), prouver que tout anneau local de $K \otimes_B \widehat{B}$ est de la forme $(\widehat{B})_r$, avec $r \in \mathrm{Spec}(\widehat{B})$ et $r \cap B = \{0\}$, et qu’il est formellement lisse sur $K$ relativement à $K_\lambda$. En déduire que la $K$-algèbre $K \otimes_B \widehat{B}$ est absolument régulière (prouver que la famille $\{K_\lambda\}_{\lambda \in A}$ de sous-corps de $K$ est filtrante décroissante et que $\bigcap_{\lambda \in A} K_\lambda = k^p((T_1, \ldots, T_n))$) ; appliquer ensuite l’exercice 9). d) On revient au cas général. Prouver que $A$ est un anneau de Grothendieck (§ 6, exerc. 5) ; si $q \in \mathrm{Spec}(B)$, il s’agit de montrer que la $\kappa(q)$-algèbre $\kappa(q) \otimes_B \widehat{B}$ est absolument régulière ; remplaçant $A$ par $A/(A \cap q)$, on peut supposer $A$ intègre et $q = \{0\}$ ; on utilisera IX, § 2, n° 3, th. 3 et § 3, n° 3, th. 2 pour se ramener au cas où $A$ est un anneau local régulier complet.