Bài tập 7, § 7

Cho $k$ là một vành, $\rho : A \to B$ là một đồng cấu của các $k$-đại số, $J$ là một iđêan của $B$. Ta nói rằng $B$, được trang bị tôpô $J$-adic, là \emph{trơn hình thức trên} $A$ \emph{tương đối với} $k$ nếu đối với mọi $A$-đại số $C$ (được trang bị tôpô rời rạc) và mọi iđêan bình phương bằng không $N$ của $C$, mọi đồng cấu liên tục của các $A$-đại số $B \to C/N$, nâng được thành một đồng cấu liên tục của các $A$-đại số từ $B$ vào $C$, cũng nâng được thành một đồng cấu liên tục của các $A$-đại số từ $B$ vào $C$.

a) Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương :

(i) $B$ là trơn hình thức trên $A$ tương đối với $k$ đối với tôpô $J$-adic ; (ii) đối với mọi đạo hàm $k$-đạo hàm $D$ của $A$ vào một $B$-môđun $E$ bị triệt tiêu bởi một lũy thừa của $J$, tồn tại một $k$-đạo hàm $\tilde{D} : B \to E$ sao cho $\tilde{D} \circ \rho = D$ ; (iii) đối với mọi số nguyên $n \geqslant 0$, ánh xạ chính tắc $u_n : \Omega_k(A) \otimes_A (B/J^n) \longrightarrow \Omega_k(B) \otimes_B (B/J^n)$ là đơn ánh và ảnh của nó là một nhân tử trực tiếp.

b) Giả sử rằng $B$ là trơn hình thức trên $k$ đối với tôpô $J$-adic. Chứng minh rằng để $B$ là trơn hình thức trên $A$, điều kiện cần và đủ là đồng cấu chính tắc $u_1 : \Omega_k(A) \otimes_A (B/J) \to \Omega_k(B) \otimes_B (B/J)$ là đơn ánh và ảnh của nó là một nhân tử trực tiếp (dùng a) và Bài tập 6 để chứng minh rằng một phép co của $u_1$ nâng lên thành một phép co của $u_n$ với mọi $n$).